Complexes Pondérés Sur Les Compactifications De Baily-borel Le Cas Des Variétés De Siegel

Les variétés de Shimura les plus étudiées sont celles associées au groupe GL2, autrement dit les courbes modulaires. Si Y est une courbe modulaire, on obtient sa compactification de Baily-Borel j : Y −→ Y ∗ en ajoutant un nombre fini de pointes (carGL2 est de rang semi-simple 1). Comme Y ∗ est lisse, le complexe d’intersection associé à un système de coefficients F sur Y est j∗F . Il est possible dans ce cas de calculer la fonction L de Y ∗ à coefficients dans j∗F , et il a été prouvé dans des travaux d’Eichler, Shimura, Deligne et Ihara (entre autres) qu’elle s’écrit comme un produit alterné de fonctions L de formes modulaires cuspidales et de fonctions zêta. La fonction L est un produit de facteurs locaux Lp, où p parcourt l’ensemble des nombres premiers, et ce sont les Lp que l’on calcule. Le cas essentiel est celui où Y ∗ et j∗F ont bonne réduction en p. Le facteur local Lp ne dépend alors que des réductions modulo p de Y ∗ et j∗F . Pour calculer Lp dans le cas des courbes modulaires, il existe deux méthodes : la méthode des congruences, qui ne se généralise pas en dimension supérieure, et la comparaison de la formule des traces d’Arthur-Selberg et de la formule des points fixes de Grothendieck-Lefschetz. C’est cette deuxième méthode que l’on cherche à généraliser. Pour une variété de Shimura généraleM(G,X ) , l’application de cette méthode au calcul de Lp est plus délicate. Un premier pas est le calcul de la trace d’une correspondance de Hecke composée avec une puissance du morphisme de Frobenius sur la cohomologie du complexe d’intersection de la compactification de Baily-Borel, ou, ce qui suffit grâce à la conjecture de Deligne si la puissance de Frobenius est assez grande (cf [P3], [F] et [V]), des termes locaux näıfs de ces correspondances. Brylinski et Labesse ([BL]) ont effectué ce calcul pour G = RE/QGL2, avec E une extension totalement réelle de Q de degré supérieur ou égal à 2, et ils en ont déduit que la fonction L du complexe d’intersection était bien de la forme attendue. Pour G = GU(2, 1), le calcul a été fait par Kottwitz et Rapoport dans l’article [KR] du livre [LR] (dans ce cas, on peut aussi montrer que la fonction L à coefficients dans le complexe d’intersection est un produit alterné de fonctions L automorphes, voir l’article de Langlands et Ramakrishnan dans le même livre [LR]). Le cas d’un groupe G de rang 1 et d’une correspondance de Hecke triviale a été traité par Rapoport dans son article [R], paru aussi dans [LR]. Signalons enfin que le cas d’un groupe unitaire sur Q de rang quelconque et d’une correspondance de Hecke triviale a été traité dans [M].